Позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса . В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .
Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи .
Навигация по странице.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям
Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.
Возьмем единичную окружность , отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A 1 (x, y) .
Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти , если точка А 1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.
Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.
Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.
Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .
Для синуса и косинуса это сделать просто.
По определению синус угла α - это ордината точки А 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.
В свою очередь косинус угла α - это абсцисса точки A 1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.
Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A 1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A 1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.
Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A 1 положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.
Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Свойство периодичности
Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.
Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А 1 на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A 1 .
С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α - угол поворота в радианах, z – любое , абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.
Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .
Приведем примеры использования этого свойства. Например, 
, так как 
, а 
. Вот еще пример: или .
Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.
Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.
Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
Пусть А 1 – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А 2 – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .
Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А 1
и А 2
либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox
. То есть, если точка A 1
имеет координаты (x, y)
, то точка А 2
будет иметь координаты (x, −y)
. Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α
и −α
вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.
Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и 
.
Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и - α .
Yandex.RTB R-A-339285-1
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 (1 , 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 (x , y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x , y) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол - 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° - угол третьей четверти. Угол - 45 ° - это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.
Косинус - это абсцисса точки A 1 (x , y) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.
Важно помнить!
- Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус - в 3 и 4 четвертях.
- Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус - в 2 и 3 четвертях.
- Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
- Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
Свойство периодичности
Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.
Свойство периодичности
При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.
Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Математически данное свойство записывается так:
sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α
Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.
Приведем примеры.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° · (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = t g (- 329 °)
Вновь обратимся к единичной окружности.
Точка A 1 (x , y) - результат поворота начальной точки A 0 (1 , 0) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 (x , - y) - результат поворота начальной точки на угол - α .
Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x , y) , а вторая - (x , - y) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.
Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Согласно этому свойству, справедливы равенства
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Неолит Европы – это в первую очередь период средиземноморской расы в той или иной форме. Очевидно, именно средиземноморцы перешли к производящей экономике где‑то за пределами Европы и вторглись на территорию собирателей.
Этих средиземноморцев, хотя и достаточно однородных в некотором отношении, все же можно разделить на подгруппы территориально и типологически на основе нескольких черт. Прежде чем продолжить нашу географически‑историческую реконструкцию, не помешает определить термин «средиземноморская раса», чтобы сравнить ее с другими встретившимися нам расами и определить ее главные типы.
Под средиземноморской расой – только в смысле типов скелета – мы подразумеваем семейство тесно связанных расовых типов, обладающих следующими чертами: длинноголовость, ортогнатность, мезо– или лепториния, узкое лицо, средний размер головы. Они произошли от обобщенного типа Галлей‑Хилл и родственны образцам из Комб‑Капель и Афалу № 28. В этом смысле средиземноморская раса – это название, которым мы предлагаем обозначать один из двух главных расовых элементов, связанных с развитием европеоидных народов. У этого элемента совершенно отсутствует неандертальское наследие. Он в некоторых отношениях отличается от большой верхнепалеолитической группы Европы и Северной Африки, как показано на стр. 100.
Средиземноморская расовая семья является такой же «белой» (европеоидной) в широком смысле, как и верхнепалеолитическая семья. Ее главные отличия от последней таковы: меньший размер мозга, средний размер тела и отсутствие чрезмерной специализации, характеризующей северную группу. Видимо, средиземноморская группа происходит только от Homo Sapiens , без неандертальской или любой другой примеси.
Должно быть, перед неолитом главные группы средиземноморской семьи уже существовали. Вероятно, некоторые средиземноморцы обладали светлой кожей, а другие – смуглой; также возможно, что различия в цвете волос и глаз, по которым сегодня так сильно отличаются современные разновидности средиземноморцев, к тому времени уже существовали.
Мы не можем уверенно говорить о нордическом типе, пока мы не встретим светлый цвет кожи. Также нельзя делать обоснованные предположения до тех пор, пока мы не обнаружим свидетельства об их присутствии в письменных источниках и изображениях. Следовательно, мы не должны позволить различиям в пигментации и мягких тканях мешать нашему пониманию морфологического единства средиземноморской расы.
Можно продемонстрировать, что шумеры, жившие более пяти тысяч лет назад в Месопотамии, почти тождественны по форме черепа и лица современным англичанам и что черепа Египта додинастической эпохи можно сопоставить с лондонскими черепами из чумного кладбища XVII в. и с черепами из неолитических могил в Швейцарии. Современные долихоцефалы с белой и смуглой кожей очень схожи по форме головы и лица. Нордическая раса в строгом смысле – это просто пигментная фаза средиземноморской.
На основе материала, рассматриваемого в этой главе, мы можем выделить следующие виды обобщенной средиземноморской группы или группы Галлей‑Хилл:
Верхнепалеолитический
1. Большой размер мозговой коробки.
2. Средняя длина черепа около 198 мм у мужчин.
3. Высота свода различная, обычно умеренная.
4. Различная форма головы. В некоторых случаях локальные средние значения составляют 70–72, в других – 74–75.
5. Сильная тенденция к брахицефалии, выраженная в некоторых локальных ветвях.
6. Толстый черепной свод, сильный рельеф мышечных отметок.
7. Сильно выраженные надбровные дуги и развитие выйных линий на затылке.
8. Длина лица различная, часто небольшая.
9. Очень широкое лицо, скуловой диаметр более 140 мм у мужчин. Скуловые дуги сильно изогнуты.
10. Орбиты очень широкие и низкие.
11. Большое расстояние между орбитами.
12. Выступающие носовые кости.
13. Подносовой сегмент лица относительно большой.
14. Толстая, тяжелая нижняя челюсть, с большой симфизной высотой, широкими двухмыщелковыми и бигониальными поперечными диаметрами; выступающий, часто двусторонний подбородок.
15. Рост различный, но по большей части высокий, в среднем около 172 см.
16. Телосложение обычно крепкое, очень широкие плечи, объемная грудная клетка, большие руки и ноги.
Средиземноморский
1. Размер мозга разный, но обычно умеренный.
2. Средняя длина черепа 183–193 мм у мужчин.
3. Абсолютная высота свода имеет такой же диапазон или выше в абсолютном отношении, но обычно больше других диаметров. В средиземноморско‑галлей‑хиллской группе различия в высоте свода служат для диагностики расы или подрасы.
5. Тенденция к брахицефалии до прихода неолита на изученных территориях не выражена.
6. Свод от среднего до тонкого, мышечный рельеф на своде, как правило, слабо выражен.
7. Надбровные дуги и выйные линии разнообразные, от средних до слабых.
8. То же самое, но есть некоторые весьма длиннолицые исключения.
9. Лицо обычно узкое, обычно 127–133 мм, скуловые дуги слабые и сжатые с боков.
10. Орбиты умеренных пропорций.
11. Небольшое расстояние между орбитами.
12. Носовые кости выступают у некоторых типов, но далеко не у всех.
13. Подносовой сегмент лица относительно небольшой.
14. Нижняя челюсть различная; обычно легкая, с малой симфизной высотой, и узкая как в двухмыщелковом, так и в бигониальном поперечном диаметрах. Подбородок умеренный или заострен. Однако у некоторых типов нижняя челюсть приближается к верхнепалеолитическому типу по высоте, но не по ширине.
15. Рост различный, но по большей части низкий, в среднем от 159 до 172 см.
16. Телосложение обычно вытянутое, руки и ноги меньше, вес, возможно, меньше.
1. Собственно средиземноморский тип (ниже этот тип называется просто средиземноморским). Низкий рост, около 160 см; средняя длина черепа 183–187 мм у мужчин, средняя высота свода 132–137 мм, средние значения черепного указателя 73–75, развитие надбровных дуг и костей слабое, короткое лицо, нос от лепторинного до мезоринного. Этот тип уже встречался в Португалии и Палестине в позднем мезолите. Представляет собой педоморфную или недифференцированную по половому признаку средиземноморскую форму и часто несет легкую негроидную тенденцию.
2. Дунайский тип . То же самое по размерам и строению тела, длина черепа и черепной указатель такие же; в отдельных случаях указатель доходит до 80. Высота свода больше, чем ширина, среднее значение 137–140 мм. Нос от мезоринного до хамеринного.
3. Мегалитический тип . Высокий рост, в среднем 167–171 см, стройное сложение; длина черепа более 190 мм, среднее значение черепного указателя 68–72 мм, индивидуальный диапазон до 78; свод умеренный по высоте – высота меньше ширины; лоб умеренно покатый, надбровные дуги часто развиты умеренно, мышечные отметки сильнее, основа черепа шире, лицо от среднего до длинного, нос лепторинный, нижняя челюсть часто глубокая и умеренно широкая. Эльментейтцы из Восточной Африки представляют собой отдельную и крайнюю форму этого типа. Он является геронтоморфной или дифференцированной по половому признаку формой средиземноморской расы или расы Галлей‑Хилл, и по характеристикам черепа он ближе к собственно типу Галлей‑Хилл, чем любая иная ветвь.
4. Тип шнуровой керамики . Высокий рост, в среднем 167–174 см, вытянутое, но крепкое сложение – возможно, тяжеловеснее, чем у мегалитического типа; крайняя длинноголовость, длина в среднем 194 мм. Большая высота свода, в среднем более 140 мм, превышающая ширину; надбровные дуги и мышечные отметки от средних до сильных; очень длинное лицо, от небольшой до умеренной ширины; нижняя челюсть глубокая с отмеченным подбородком, но узкая из‑за углов челюсти. Нос лепторинный, часто выступающий. Этот тип в Западной и Северной Европе в некоторых отношениях приближается к верхнепалеолитическому типу, с которым он смешан.
5. Другие формы . Включают смеси этих четырех, наряду с другими, которые также промежуточные, но, возможно, недифференцированы по предкам. Поздние «нордические» формы являются промежуточными. В Малой Азии и ирано‑афганском плоскогорье появляются формы, отмеченные сильным выступанием и выпуклостью носовых костей и отсутствием углубления в области переносья. Так как эти черты найдены у индивидов различных размеров и пропорций, а также у брахицефальных рас по соседству, то кажется, что они представляют какую‑то локальную генетическую тенденцию, и их нельзя рассматривать как эксклюзивное свойство данной расы. Однако можно назвать небольшую разновидность, обнаруженную в Малой Азии, каппадокийской , а бо́льшая форма, более частая восточнее и метрически близкая к типу шнуровой керамики, может быть названа афганской .
Выделенные выше имена, данные расовым подразделениям, выбраны так, чтобы избежать четких ссылок на современные расы, так как они основываются только на скелетном материале. Средиземноморский тип является исключением – он так хорошо известен и твердо установлен, что его нельзя изменить. В этом случае мы можем быть уверены в характере мягких тканей благодаря точности реалистических портретов в Египте, на Крите и в Месопотамии, а также мумификации.
Названия «дунайский», «мегалитический» и «шнуровой» осознанно взяты из археологии, ибо, как будет показано, во время неолита и даже позже обозначенные типы тесно связаны с культурными общностями, с которыми они идентифицированы.
Я надеюсь, что использование этих названий устранит необходимость подробных описаний до конца этой главы.