РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.
§1 Энергия. Механическая энергия.
Виды механической энергии. Работа
Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи.
Энергия количественно характеризует систему относительно различных превращений движения в ней, которые происходят в результате взаимодействия частиц системы как друг с другом, так и с внешними телами. Для анализа различных форм движения вводят различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.
К механической энергии относится энергия, связанная с силами всемирного тяготения, деформированного упругого тела и энергия, связанная с движением тела.
Ещё определения энергии в механике: Энергией называется способность тела совершать работу. Запас энергии определяется работой, которую может совершить тело, изменяя свое состояние: поднятый груз при падении; сжатая пружина при восстановлении формы: движущееся тело при остановке. Механической энергией тела называют величину равную максимальной работе, которую может совершить тело в данных условиях.
І Механическая работа (Работа постоянной силы)
Если тело под действием силы совершает перемещение , работа А этой силы равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Работа силы есть скалярная величина
Работа горизонтальной составляющей силы F - силы F тяги равна ()
Работа вертикальной составляющей силы F - силы подъёма F n равна ()
Сила , направление которой перпендикулярно направлению движению тела, работу не совершает.
Работа силы трения равна (
).
Силу, направленную против движения и совершающую отрицательную работу называют силой сопротивления. Сила перпендикулярная к перемещению не изменяет числового значения скорости (такая сила заставляет тело двигаться по окружности - центростремительная сила) и работа ее равна 0.
Сила, увеличивающая численное значение скорости (угол α - о с трый), совершает положительную работу. Сила, уменьшающая численное значение скорости (угол α - ), совершает отрицательную работу.
ІІ . Работа силы тяжести. Консервативные силы.
Определим работу силы тяжести при движении тела массой
m
по наклонной плоскости, длина которой
L
, а высота
h
. На тело действует две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз и сила реакции опоры
, направленная перпендикулярно к поверхности плоскости АС. Их равнодействующая
1
совершает работу, сообщая телу ускорение (силой трения пренебрегаем).
из
б) Определим работу, совершаемую силой тяжести при свободном падении тела на высоту.
Сравнение работы, совершаемой силой тяжести при движении по наклонной плоскости и при свободном падении показывает, что работа силы тяжести не зависит от длины и формы пути, пройденного телом, и определяется произведением силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положении.
При движении вниз сила тяжести совершает положительную работу, при движении вверх - отрицательную. Работа силы тяжести по замкнутому пути 1-2-1 равна 0.
Силы, работа каких не зависит от формы и длины пути, а определяется лишь начальным и конечным положением тела, называются консервативными.
Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.Пример консервативных сил: сила тяжести, сила упругости пружины, и силы электростатического взаимодействия.
ІІІ. Работа силы трения. Диссипативные силы.
Сила трения F тр . определяется относительной скоростью соприкасающихся тел (сила трения скольжения). Сила трения всегда направленна против движения (), т.е. всегда является силой сопротивления, и поэтому выполняемая ею работа всегда отрицательна и после возвращения тела в исходное положение суммарная работа сил трения отлична от 0 и отрицательная.
Диссипативными силами называются силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна. Пример: силы трения скольжения и силы сопротивления движению тел в жидкостях и газах. В результате действия диссипативных сил механическая энергия переходит в другие виды энергии.
І V . Работа переменной силы.
Определим работу силы, величина которой изменяется от точки к точке, по закону показанному на рисунке. Разобьем перемещения S на элементарные участки dS , на которых величина силы остается постоянной, тогда элементарная запишется в виде
Полная работа А на всем перемещении от точки 1 до точки 2 равна
или, переходя к пределу,
A
Работа переменной силы равна:
Работа силы упругости с учётом того, что
A= ()
Работа сил ы упругости замкнутому пути 1-2-1
VI . Кинетическая энергия.
Если элементарное перемещение d записать в виде
По II закону Ньютона
тогда
A
=
Величина называется кинетической энергией
Работа равнодействующей всех сил действующих на частицу равна изменению кинетической энергии частицы.
Тогда
или другая запись
Если A > 0, то W К возрастает (падения)
Если A > 0, то W К убывает (бросание).
Движущиеся тела обладают способностью выполнять работу и в том случае, если никакие силы со стороны других тел на них не действуют. Если тело движется с постоянной скоростью, то - сумма всех сил действующих на тело равна 0 и работа при этом не совершается. Если тело будет действовать с некоторой силой по направлению движения на другое тело, тогда оно способно совершить работу. В соответствии с ІІІ законом Ньютона к движущемуся телу будет приложена такая же по величине сила, но направленная в противоположную сторону. Благодаря действию этой силы скорость тела будет уменьшаться до его полной остановки. Энергия W К , обусловленная движением тела, называется кинетической. Полностью остановившееся тело не может совершить работы. W К зависит от скорости и массы тела. Изменение направления скорости не влияет на кинетическую энергию.
VII . Потенциальная энергия.
Если тело поднять на высоту h , то падая под действием силы тяжести, тело может совершить работу
Если жать пружину на величину X 2 = X (X 1 = 0), то возвращать в исходное состояние деформированная пружина способна выполнить работу
Следовательно, эти тела обладают запасом энергии, возникающей благодаря взаимодействия тел друг с другом. Эту энергию называют потенциальной. Потенциальной энергией называется энергия, зависящая от взаимного положения частиц системы.
Если тело падает с некоторой высоты h 1до высоты h 2, его потенциальная энергия изменяется от значения
до
Совершенная при этом работа равна
т.е. работа, совершаемая телами, на которые действуют консервативные силы, равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.
Таким образом, когда падающее тело совершает положительную работу, его W П уменьшается. Если тело поднимают вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу и W П возрастает.
VIII . Полная механическая энергия.
Механической энергией или полной механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии.
1) Кинетическая энергия.
Если тело массой m движется со скоростью v, то оно обладает энергией ,
Работа равна изменению кинетической энергии тела: 
.
2) Потенциальная энергия.
Любое тело массы m , находящееся под действием гравитации обладает энергией: ,
где h – высота над условным нулевым уровнем, g – ускорение свободного падения.
Потенциальной энергией так же обладает упруго деформированное тело. Если пружина жесткостью k деформирована на величину x , то она обладает энергией: ,
Потенциальная энергия это энергия взаимодействия тел (или его частей).
Отметим, что не всякое взаимодействие тел характеризуется потенциальной энергией. Есть особые силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тел (рис.). Такие силы называют консервативными . Например, к консервативным силам относятся сила тяжести, сила упругости, к неконсервативным – сила трения.
Работа равна изменению потенциальной энергии со знаком минус:
Единица измерения энергии – 1 Джоуль.
Закон сохранения энергии.
Рассмотрим консервативную механическую систему, т.е. такую систему в которой действуют только консервативные силы.
Закон сохранения формулируется для полной энергии.
Полной энергией
механической системы называют сумму кинетических и потенциальных энергий тел, входящих в эту систему: 
Итак, в замкнутой консервативной механической системе полная энергия сохраняется .
Или, в консервативных системах при отсутствии внешнего воздействия полная энергия остается постоянной .
Часто потенциальная энергия является функцией координат. Изобразим на одной координатной плоскости графики полной энергии и потенциальной энергии. График потенциальной энергии может взрастать или убывать, а график полной энергии горизонтален, т.к. полная энергия постоянна (в консервативных системах).
ABC – потенциальная яма.
CDR – потенциальный барьер.
Центральный удар шаров.
Законы сохранения применяются для анализа и решения множества физических задач, одним из которых является удар тел.
Удар – столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.
При ударе между телами происходит перераспределение энергий и импульса. При этом часть механической энергии системы может перейти в немеханические.
Рассмотрим предельные виды удара.
- Неупругий удар – удар, после которого тела движутся как единое целое, при этом часть механической энергии тратится на деформацию и переходит в немеханические виды (в тепловую). При неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса.
- Абсолютно упругий удар – удар, при котором механическая энергия не переходит в другие, немеханические, виды энергии. После удара тела полностью восстанавливают формы и размеры. Полная энергия системы сохраняется. При абсолютно упругом ударе выполняются и законы сохранения импульса и энергии.
Рассмотрим центральный удар двух шаров.
Удар называется центральным , если до удара шары движутся вдоль линии, проходящей через их центры масс.
Пусть известны массы m 1 , m 2 и скорости шаров до удара: v 1 , v 2
Взгляните: катящийся по дорожке шар сбивает кегли, и они разлетаются по сторонам. Только что выключенный вентилятор ещё некоторое время продолжает вращаться, создавая поток воздуха. Обладают ли эти тела энергией?
Заметим: шар и вентилятор совершают механическую работу, значит, обладают энергией. Они обладают энергией потому, что движутся. Энергию движущихся тел в физике называют кинетической энергией (от греч. «кинема» – движение).
Кинетическая энергия зависит от массы тела и скорости его движения (перемещения в пространстве или вращения). Например, чем больше масса шара, тем больше энергии он передаст кеглям при ударе, тем дальше они разлетятся. Например, чем больше скорость вращения лопастей, тем дальше вентилятор переместит поток воздуха.
Кинетическая энергия одного и того же тела может быть различной с точек зрения различных наблюдателей. Например, с нашей точки зрения как читателей этой книги, кинетическая энергия пня на дороге равна нулю, так как пень не движется. Однако по отношению к велосипедисту пень обладает кинетической энергией, поскольку стремительно приближается, и при столкновении совершит очень неприятную механическую работу – погнёт детали велосипеда.
Энергию, которой тела или части одного тела обладают потому, что взаимодействуют с другими телами (или частями тела), в физике называют потенциальной энергией (от лат. «потенциа» – сила).
Обратимся к рисунку. При всплытии мяч может совершить механическую работу, например, вытолкнуть нашу ладонь из воды на поверхность. Расположенная на некоторой высоте гиря может совершить работу – расколоть орех. Натянутая тетива лука может вытолкнуть стрелу. Следовательно, рассмотренные тела обладают потенциальной энергией, так как взаимодействуют с другими телами (или частями тела). Например, мяч взаимодействует с водой – архимедова сила выталкивает его на поверхность. Гиря взаимодействует с Землёй – сила тяжести тянет гирю вниз. Тетива взаимодействует с другими частями лука – её натягивает сила упругости изогнутого древка лука.
Потенциальная энергия тела зависит от силы взаимодействия тел (или частей тела) и расстояния между ними. Например, чем больше архимедова сила и глубже мяч погружён в воду, чем больше сила тяжести и дальше гиря от Земли, чем больше сила упругости и дальше оттянута тетива, – тем больше потенциальные энергии тел: мяча, гири, лука (соответственно).
Потенциальная энергия одного и того же тела может быть различной по отношению к различным телам. Взгляните на рисунок. При падении гири на каждый из орехов обнаружится, что осколки второго ореха разлетятся намного дальше, чем осколки первого. Следовательно, по отношению к ореху 1 гиря обладает меньшей потенциальной энергией, чем по отношению к ореху 2. Важно: в отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия не зависит от положения и движения наблюдателя, а зависит от выбора нами «нулевого уровня» энергии.
Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации) взаимодействующих друг с другом тел.
Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения. Скалярным произведением двух векторов называется скаляр равный произведению модулей этих векторов и косинус угла между ними.
Понятия энергии и работы тесно связаны друг с другом.
Кинетическая энергия частицы
Приняв во внимание, что произведение mV равно модулю импульса частицы р, выражению (4) можно придать вид
Если сила F , действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение
где ds - перемещение частицы за время dt.
Величина
называется работой , совершаемой силой F на пути ds (ds - модуль перемещения ds ).
Из (5) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу
Если dA = Fds, а, то
Проинтегрируем обе части равенства (6) вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2:
Левая часть полученного равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы:
Правая часть есть работа А12 силы F на пути 1-2:
Таким образом, мы пришли к соотношению
из которого следует, что работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.
Консервативные силы
Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, называются консервативными.
Легко показать, что работа сил на любом замкнутом пути равна нулю. Разобьем произвольный замкнутый путь (рис.1) точками 1 и 2 (взятыми также произвольно) на два участка, обозначенных римскими цифрами I и II. Работа на замкнутом пути слагается из работ, совершаемых на этих участках:
Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений ds на -ds, вследствие чего изменяет знак на обратный. Отсюда заключаем, что. Произведя замену в (8), получим, что
Вследствие независимости работы от пути последнее выражение равно нулю. Таким образом, консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.
Потенциальная энергия
Эта энергия определяется положением тела (высотой на которое оно поднято). Поэтому она называется энергией положения. Чаще ее называют потенциальной энергией.
где h отсчитывается от произвольного уровня.
В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной.
Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа
A12 = Ep1-Ep2 . (9)
В соответствии с формулой (7) эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приняв оба выражения для работы, получим соотношение, из которого следует, что
Величина E, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (10) означает, что E1=E2, т.е. что полная энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил. Остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающимся изменением конфигурации системы.
Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:
где определяется формулой (9).
Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:
где - потенциальная энергия системы во внешнем поле сил.
Работу неконсервативных сил обозначим.
Согласно формуле (7) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы Ek, которая равна сумме кинетических энергий частиц:
Следовательно,
Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:
Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы E:
Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:
Из (11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:
Мы пришли к закону сохранения механической энергии , который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.
Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит только два слагаемых: (- взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.
Существует два вида механической энергии - кинетическая энергия точечного тела и потенциальная энергия системы тел . Механическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий входящих в эту систему тел и потенциальных энергий их взаимодействия:
Механическая энергия = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия
Важное значение имеет закон сохранения механической энергии
:
В инерциальной системе отсчета механическая энергия системы остается постоянной (не изменяется, сохраняется) при условии, что работа внутренних сил трения и работа внешних сил над телами системы равна нулю (или столь малы, что ими можно пренебречь).
Кинетическая энергия
Как один из видов механической энергии кинетическая энергия точечного тела равна работе, которую может совершить тело над другими телами за счет уменьшения своей скорости до нуля. При этом речь идет об инерциальных системах отсчета (ИСО).
Кинетическая энергия точечного тела рассчитывается по формуле K = (mv 2) / 2.
Кинетическая энергия тела увеличивается, когда над ним совершают положительную работу. Причем увеличивается на величину этой работы. При совершении над телом отрицательной работы его кинетическая энергия уменьшается на величину, равную модулю этой работы. Сохранение кинетической энергии (отсутствие ее изменений) говорит, что совершенная над телом работа была равна нулю.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия - это вид механической энергии, которой могут обладать только системы тел или тела, рассматриваемые как системы частей, но не одно точечное тело. Потенциальная энергия разных систем вычисляется по-разному.
Часто рассматриваемой системой тел является «тело – Земля», когда какое-либо тело находится вблизи поверхности планеты (в данном случае Земли) и притягивается к ней под действием силы тяжести. В этом случае потенциальная энергия равна работе силы тяжести при опускании тела на нулевую высоту (h = 0):
Потенциальная энергия системы «тело – Земля» уменьшается при совершении силой тяжести положительной работы. При этом уменьшается высота (h) нахождения тела над Землей. При увеличении высоты сила тяжести совершает отрицательную работу, а потенциальная энергия системы увеличивается. Если высота не изменяется, то потенциальная энергия сохраняется.
Другим примером системы, обладающей потенциальной энергией, является упруго деформированная другим телом пружина. Пружина обладает потенциальной энергией, так как представляет собой систему взаимодействующих между собой частей (частиц), стремящихся вернуть пружину в исходное состояние, т. е. пружина обладает силой упругости.
Силы упругости совершают работу при переходе тела в недеформированное состояние, в котором потенциальная энергия становится равной нулю. (Все системы стремятся уменьшить свою потенциальную энергию.)
Потенциальная энергия системы «пружина» определяется по формуле П = 0,5k · Δl 2 , где k - жесткость пружины, Δl - изменение длины пружины (в результате сжатия или растяжения).
Пружины в недеформированном состоянии обладает нулевой потенциальной энергией. Чтобы в системе появилась потенциальная энергия внешние силы должны совершить положительную работу против сил упругости, т. е. против внутренних потенциальных сил.