Ряд называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные , так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременного ряда.
Теорема 1.
Если знакопеременный ряд (1)
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
(2)
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Данная теорема позволяет судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование в данном случае сводится к исследованию ряда с положительными членами.
Данная теоремаявляется достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
Определение:
Знакопеременный ряд (1)
называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (2)
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд(1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Теорема 2:
Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Теорема 3:
Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А , можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.
Пример:
Исследовать числовой ряд
Решение:
Исследуем данный числовой знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость, для чего составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:
Исследуем полученный числовой ряд с положительными
членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним
данный ряд с обобщенным
гармоническим рядом
. Так как
, то ряд сходится.
Следовательно, оба ряда вместе сходятся.
Так как числовой ряд из абсолютных величин членов нашего знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся числовой ряд сходится абсолютно.
Ответ: Ряд сходится абсолютно.
Пример .
Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость.
Решение:
Знакочередующийся числовой ряд.
Воспользуемся признаком Лейбница:
То есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Составим ряд из модулей членов нашего знакочередующегося ряда:
Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Следовательно, оба ряда вместе расходятся.
Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.
Ответ: Ряд сходится условно.
Числовой ряд
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.
где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).
Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда
Теорема (Признак Лейбница).
Знакочередующийся ряд сходится, если:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;
Общий член ряда стремится к нулю:.
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам
Замечания.
Исследование знакочередующегося ряда вида
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда.
Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой.
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.
Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда.
Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:
Взяв пять членов, т.е. заменивна
Сделаем ошибку, меньшую,
чем. Итак,.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.
Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Упражнения
Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:
Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.
Ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.
Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:
Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.
Используя признак Лейбница, получим
т.е. ряд сходится.
Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.
Используя признак Лейбница, имеем
т.е. ряд сходится.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.
знакопеременный ряд сходимость слагаемое
Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны . Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее.
Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
и сразу же общие правила записи знакочередующихся рядов.
Как и в случае любых рядов, для продолжения данного ряда нужно задать функцию, определяющую общий член ряда. В нашем случае это n + 2 .
А как задать чередование знаков членов ряда? Умножением функции на минус единицу в некоторой степени. В какой степени? Сразу же подчеркнём, что не любая степень обеспечивает чередование знаков при членах ряда.
Допустим, мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с положительным знаком, как это и имеет место в приведённом выше примере. Тогда минус единица должна быть в степени n − 1 . Начните подставлять в это выражение числа начиная с единицы и вы получите в качестве показателя степени при минус единице то чётное, то нечётное число. Это и есть необходимое условие чередования знаков! Такой же результат получим при n + 1 . Если же мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с отрицательным знаком, то можем задать этот ряд умножением функции общего члена на единицу в степени n . Получим то чётное, то нечётное число и так далее. Как видим, уже описанное условие чередования знаков выполнено.
Таким образом, можем записать приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде:
Для чередования знаков члена ряда степень минус единицы может быть суммой n и любого положительного или отрицательного, чётного или нечётного числа. То же самое относится к 3n , 5n , ... То есть, чередование знаков членов знакочередующегося ряда обеспечивает степень при минус единицы в виде суммы n , умноженного на любое нечётное число и любого числа.
Какие степени при минус единице не обеспечивают чередование знаков членов ряда? Те, которые присутствуют в виде n , умноженного на любое чётное число, к которому прибавлено любое число, включая нуль, чётное или нечётное. Примеры показателей таких степеней: 2n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n + 3 ... В случае таких степеней в зависимости от того, с каким числом складывается "эн", умноженное на чётное число, получаются или только чётные, или только нечётные числа, что, как мы уже выяснили, не даёт чередования знаков членов ряда.
Знакочередующиеся ряды - частный случай знакопеременных рядов . Знакопеременные ряды - это ряды с членами произвольных знаков , то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Пример знакопеременного ряда:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Далее рассмотрим признаки сходимости знакочередующихся и знакопеременных рядов. Условную сходимость знакочередующихся рядов можно установить при помощи признака Лейбница. А для более широкого круга рядов - знакопеременных (в том числе и знакочередующихся) - действует признак абсолютной сходимости.
Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.
Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:
- абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: u 1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ... ;
- предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю.
Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:
а предел общего члена
равен нулю:
Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Это знакочередующийся ряд. Сначала докажем, что :
,
.
Если N = 1 , то для всех n > N выполняется неравенство 12n − 7 > n . В свою очередь для каждого n . Поэтому , то есть члены ряда по абсолютному значению убывают. Найдём предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя ):
Предел общего члена равен нулю. Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ответ на вопрос о сходимости - положительный.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение. Дан знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница, то есть требование . Чтобы требование выполнялось, необходимо, чтобы
Мы убедились, что требование выполняется для всех n > 0 . Первый признак Лейбница выполняется. Найдём предел общего члена ряда:
.
Предел не равен нулю. Таким образом, второе условие признака Лейбница не выполняется, поэтому о сходимости не может быть и речи.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
Решение. В данном ряде за двумя отрицательными членами следуют два положительных. Данный ряд - также знакочередующийся. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница.
Требование выполняется для всех n > 1 . Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена (применяя правило Лопиталя):
.
Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Это знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница. Так как
,
Так как n ≥ 0 , то 3n + 2 > 0 . В свою очередь, для каждого n , поэтому . Следовательно, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя):
.
Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный ряд сходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
Решение. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:
Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:
.
Предел общего члена не равен нулю. Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, данный ряд расходится.
Признак Лейбница является признаком условной сходимости ряда . Значит, выводы о сходимости и расходимости рассмотренных выше знакочередующихся рядов можно дополнить: эти ряды сходятся (или расходятся) условно.
Абсолютная сходимость знакопеременных рядов
Пусть ряд
– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся .
Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.
Пример 7. Установить, сходится ли ряд
Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд , в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.
Напишем абсолютные значения первых пяти членов ряда:
.
Как видим, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:
Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются. То есть по признаку Лейбница сходимость имеет место быть. А соответствующий ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.
Пример 8. Установить, сходится ли ряд
абсолютно, условно, или расходится.
Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд, в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Применим
достаточный признак Лейбница для
знакочередующихся рядов. Получаем
поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.
38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 < an для всех n;
Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.
39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.
Понятие функционального ряда и степенного ряда
Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:
Все члены ряда –это ЧИСЛА.
Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:
В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:
Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
Как видите, все члены функционального ряда это функции.
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
Определение:
Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.
Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:
Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.
Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:
Строго
говоря, упрощенные записи степенного
ряда,илине
совсем корректны. В показателе степени
вместо одинокой буквы «эн» может
располагаться более сложное выражение,
например:
Или такой степенной ряд:
Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.
Сходимость степенного ряда .
Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости
Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.
Прошу любить и жаловать степенной ряд Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
Если х=1,то
Если х=-1,то
Если х=3,то
Если х=-0,2, то
Очевидно,
что, подставляя в
то или иное значение «икс», мы получаем
различные числовые ряды. Некоторые
числовые ряды будут сходиться, а некоторые
расходиться. И наша задача найти множество
значений «икс», при котором степенной
рядбудет сходиться. Такое множество и
называется областью сходимости ряда.
Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
Геометрически
ситуация выглядит так:
В
данном случае, интервал сходимости
ряда:
радиус сходимости ряда:
Ряд (1) называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ). Пусть задан знакопеременный ряд
a 1 + a 2 + … +a n + …. (13)
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
|a 1 | + |a 2 | + … + |a n | +… , (14)
сходится, то сходится и данный ряд (13).
Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся .
a 1 – a 2 + a 3 – a 4 +… + a n + …., (15)
где , называется знакочередующимся.
Теорема (признак Лейбница ). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
Замечание 1 . При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов:
1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии;
2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится.
Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на S n , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.
Задание 1
Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.
Задание 2 .
Решение . Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем:
и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда.
Задание 3 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:
и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:
Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:
и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.
Задание 6 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:
Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:
1) и очевидно, что
Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.